วันอังคารที่ 1 กันยายน พ.ศ. 2558

บทที่4 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1.ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
 

     คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง
(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
    ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต Bคือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B
       สัญลักษณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B                                 
2.ฟังก์ชันกำลังสอง

 

           ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ
จะเห็นว่า  ถ้า  a > 0  กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น
          a < 0  กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง
 กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า  พาราโบลา...อ่านเพิ่มเติม 
3.ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
 

 ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ถูกกำหนดโดยกฎซึ่งแบ่งออกเป็นสองกรณี
ค่าฟังก์ชันสมบูรณ์ | | จะกำหนดโดย
ค่า absolute ของ x ให้ระยะห่างระหว่าง x และ 0 เป็นบวกหรือศูนย์เสมอ
ตัวอย่างเช่น
|3| = 3, |-3| = 3, |0|=0. | 3 | = 3, | -3 | = 3 | 0 | = 0
โดเมนของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์คือ R ทั้งเส้นของจริงในขณะที่ช่วงคือช่วง [0, )
ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์สามารถอธิบายกฎอ่านเพิ่มเติม
บทที่3 จำนวนจริง
 1.จำนวนจริง
 
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ได้แก่
เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย I
   I = {1,2,3…}
เซตของจำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วย  I
เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I
   I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
เซตของจำนวนตรรกยะ : เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยที่ a,b เป็นจำนวนเต็ม  และ b = 0
เซตของจำนวนรรกยะ : จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
                1.4142135…   มีค่าประมาณ...อ่านเพิ่มเติม

2.สมบัติการไม่เท่ากันของจำนวนจริง
 
   สมบัติเกี่ยวกับการไม่เท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้ ( ให้ a , b , c , d  R )
การไม่เท่ากันของจำนวนจริง ไม่มีสมบัติการสะท้อน ไม่มีสมบัติการสมมาตร แต่มีสมบัติอื่นดังนี้
1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
3. สมบัติการคูณจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0แล้ว ac < bc
4. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
5. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c<0 แล้ว a < b

3.ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
 
    บทนิยาม สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัว ค่าสัมบูรณ์ของ x มีความหมายดังนี้
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์
 1. |x| = a ก็ต่อเมื่อ x = a หรือ x = -a
2. |x| = |-x|
 3. |x| = |y| ก็ต่อเมื่อ x = y หรือ x = -y
 4. |x| = x2
5. |x|  0
6. |x|  x
7. |xy| = |x| |y|
8. |x/y| = |x|/|y|
9. |x - y| = |y - x|
10. |x + y| = |x| + |y| ก็ต่อเมื่อ xy  0
11. |x|  a ก็ต่อเมื่อ - x  a

12. |x|  a ก็ต่อเมื่อ  x  -a หรือ x  a
บทที่2 การให้เหตุผล
  1.การให้เหตุผลแบบอุปนัย
 

    การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการสรุปผลมาจากการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป
   การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น  ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง  เนื่องจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปผลเกิดจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่  ดังนั้นข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล  หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้างซึ่งได้แก่
  1. จำนวนข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่ เช่น  ถ้าไปทานส้มตำที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งแล้วท้องเสีย แล้วสรุปว่า...อ่านเพิ่มเติม 

2.การให้เหตุผลแบบนิรนัย
 

 การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจากข้อความซึ่งเป็นความจริงทั่วไปมาเป็นข้ออ้างเพื่อสนับสนุนให้เกิดข้อสรุปที่เป็นความรู้ใหม่ที่เป็นข้อสรุปส่วนย่อยข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผล
แบบนิรนัยนั้นจะเป็นข้อสรุปที่อยู่ในขอบเขตของเหตุเท่านั้นจะเป็นข้อสรุปที่กว้างหรือเกินกว่าเหตุไม่ได้การให้เหตุผลแบบนิรนัยประกอบด้วยข้อความ2กลุ่มโดยข้อความกลุ่มแรกเป็นข้อความที่เป็นเหตุ เหตุอาจมีหลาย ๆเหตุ หลาย ๆข้อความ และข้อความกลุ่มที่สองจะเป็นข้อสรุป ข้อความในกลุ่มแรกและกลุ่มที่สองจะต้องมีความสัมพันธ์กัน
ข้อจำกัดของการให้เหตุผลแบบนิรนัย
 1.การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการให้เหตุผลที่มีขนาดใหญ่ซึ่งกำหนด เป็นการวางนัยทั่วไปและมีเหตุรองเป็น เหตุการณ์เฉพาะเพื่อนำไปสู่ข้อสรุป ดังนั้นเหตุจะเป็นข้อความหรือ...อ่านเพิ่มเติม
บทที่1 เซต
1.เซต 
 
  ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา  เราเรียกสมาชิกของเซต
เซตที่เท่ากัน
     เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3}          B={1,2,3}     จะได้ A=B
เซตที่เทียบเท่ากัน
     เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน
เช่น  A={a,b,c}   ,     B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว
n( A ) = n ( B ) = 3
 
2.สับเซตและพาวเวอร์เซต
 

   สับเซต (Subset) ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A  B
ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A  B
 สมบัติของสับเซต
1) A  A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
2) A  U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3) ø  A (เซตว่างเป็นสับเซตของ...อ่านเพิ่มเติม

3.ยูเนียน อินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ของเซต

 
  ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A B
ตัวอย่างเช่น
           A ={1,2,3}
           B= {3,4,5}
             ∴ A  B = {1,2,3,4,5}
   อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A  B
ตัวอย่างเช่นอ่านเพิ่มเติม